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三角関数(さんかくかんすう、trigonometric function)とは、平面三角法において直角三角形の角の大きさから辺の比を与える関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。

◆ 概要

直角三角形は1つの角が直角であり、三角形の内角の和は180度であることから他の1つの角の大きさが定まれば、角の大きさが3つとも決まり三角形の3辺の比も決まる。ゆえに角の大きさを与えることで、辺同士の比を返すような関数を考えることができる。

∠C を直角とする直角三角形 △ABC において ∠A = θ を与えれば、 3辺の比 AB : BC : CA が定まることから、h = AB, a = BC, b = CA とおくと、

:$\backslash sin\backslash theta\; =\; \{a\; \backslash over\; h\}$

:$\backslash cos\backslash theta\; =\; \{b\; \backslash over\; h\}$

:$\backslash tan\backslash theta\; =\; \{a\; \backslash over\; b\}\; =\; \{\backslash sin\backslash theta\; \backslash over\; \backslash cos\backslash theta\}$

:$\{\backslash rm\; cosec\backslash ,\}\backslash theta\; =\; \{h\; \backslash over\; a\}\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash sin\backslash theta\}$

:$\backslash sec\backslash theta\; =\; \{h\; \backslash over\; b\}\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash cos\backslash theta\}$

:$\backslash cot\backslash theta\; =\; \{b\; \backslash over\; a\}\; =\; \{\backslash csc\backslash theta\; \backslash over\; \backslash sec\backslash theta\}\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash tan\backslash theta\}$

という6つの値が定まる。それぞれ正弦(サイン/sine)・余弦(コサイン/cosine)・正接(タンジェント/tangent)・余接(コタンジェント/cotangent)・正割(セカント/secant)・余割(コセカント/cosecant)と呼ばれ、まとめて三角比と呼ばれる。余弦とは、余りの角、すなわちその角と直角以外の角の正弦を意味する。三角比は平面三角法に用いられ、巨大なものの大きさや遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度 θ の単位は普通、度かラジアンである。

θを単なる直角三角形の内角としてではなく、平面座標系上の任意の角として与えて、三角比の性質を研究することもできる。三角比の定義を一般化し、純粋に関数としての性質に注目したとき、これらを三角関数と呼ぶ。三角関数を円関数と呼ぶこともある。

三角関数のsinとcosの間には、ピタゴラスの定理から、

: $\backslash sin^2\; \backslash theta\; +\; \backslash cos^2\; \backslash theta\; =\; 1$

の関係式が成り立つ。(なお、sin² θ とは、(sin θ)² のことである。)

また、後述する三角関数の加法定理及び派生公式を用いれば、任意の角度についてその値を近似計算することができる。

三角関数は、指数関数とともに初等関数の一種である。また

:$\{d^2\; \backslash over\; dx^2\}\; y(x)\; =\; -y(x)$

という微分方程式の解でもある。

◆ 定義

2次元ユークリッド空間 R² における単位円 x² + y² = 1 上で、点 (1,0) から正の向きに回転する動点 P = (x,y) に対して、動点と原点を結ぶ線分が x 軸の正方向と成す角を t として、

:$\backslash sin\backslash \; t\; =\; y$

:$\backslash cos\backslash \; t\; =\; x$

:$\backslash tan\backslash ,t\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\backslash ,t\}\{\backslash cos\backslash ,t\}\; =\; \{y\; \backslash over\; x\}$

と定義する(ただし、tは反時計回りの向きを正として測る)。上から正弦関数(sine; サイン)・余弦関数(cosine; コサイン)・正接関数(tangent; タンジェント)と呼び、これらを総称して三角関数と呼ぶ。さらにその逆数、

:$\backslash mathrm\{cosec\}\backslash ,t\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash sin\backslash ,t\}\; =\; \{1\; \backslash over\; y\},$

:$\backslash sec\backslash ,t\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash cos\backslash ,t\}\; =\; \{1\; \backslash over\; x\},$

:$\backslash cot\backslash ,t\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash tan\backslash ,t\}\; =\; \{x\; \backslash over\; y\}$

を、上から余割関数(cosecant; コセカント)・正割関数(secant; セカント)・余接関数(cotangent; コタンジェント)と呼び、これらを総称して割三角関数(かつさんかくかんすう)と呼ぶ。また、割三角関数を含めて三角関数と呼ぶこともある。cosec は長いので csc と書くこともある。

◆ 周期性

単位円上を往く動点 P は 2π の行程を隔てれば、単位円を一周する。従って、任意の行程 t は、

:$$

t = \theta + 2\pi n ;

\quad 0 \le \theta < 2\pi ,\ n\isin \mathbb{Z}

と表現することができる。この時、θ を偏角、t を一般角と言う。偏角でも一般角でも、最終到達点の座標は一致するわけであるから、

: sin(θ+2πn) = sinθ

が成り立つ(他の三角関数でも同様)。このことから、三角関数は周期関数となる。

◆ 歴史

一定の半径の円における中心角に対する弦と弧の長さの関係は天文学の要請によって古代から研究されてきた。

古代ギリシャにおいて、円と球に基づく宇宙観に則った天文学研究から、ヒッパルコスにより一定の半径の円における中心角に対する弦の長さが表にまとめられたもの(正弦表)が作られた。プトレマイオスの『アルマゲスト』にも正弦表が記載されている。

正弦表は後にインドに伝わり、弦の長さは半分でよいという考えから5世紀ごろには半弦 ardha-jiva (つまり現在の sine の意味の正弦)の長さをより精確にまとめたものが作成された(『アールヤバタ』)。ardha は"半分" jiva は"弦"の意味で、当時のインドではこの半弦(現在の sine の意味の正弦)は単に jiva と略された。また、弦の長さを半分にして直角三角形を当てはめたことから派生して余角 (complementary angle) の考えが生まれ、“余角 (co-angle) の正弦 (sine)”という考えから余弦 (cosine) の考えが生まれた。余弦の値もこのころに詳しく調べられている。

(*co- は complementary の略で、補完的・補足的という意味の接頭語として用いる)

8世紀ごろアラビアへ伝わったときに jaib(入り江)と変化して、一説では12世紀にチェスターのロバートがラテン語に翻訳した際、正弦を sinus rectus と意訳し(sinusはラテン語で「湾」のこと)、現在の sine になったという。

また、10世紀の数学者アル・バッターニが正弦法の導入、コタンジェント表の計算、球面三角法(球面幾何学)の定理を提唱した。

円や弦といった概念からは独立に、三角比を辺の比として角と長さの関係と捉えたのは16世紀ドイツのラエティクスであると言われる。余弦を co-sine とよんだり、sin, cos という記号が使われるようになったりしたのは 17世紀になってからであり、それが定着するのは 18世紀オイラーのころである。一般角に対する三角関数を定義したのはオイラーである。

◆ 三角関数の相互関係

単位円上の動点の座標によって定まる関数であることから、三角関数の間に成り立ついくつかの相互関係を導くことができる。

; 基本相互関係

全てピタゴラスの定理により証明される。

:* sin² t + cos² t = 1.

:* sec² t − tan² t = 1.

:* cosec² t − cot² t = 1.

;負角・余角・補角公式

:* sin(−t) = −sin t.

:* cos(−t) = cos t.

:*$\backslash sin\backslash !\backslash left(t\; +\; \{\backslash pi\backslash over\; 2\}\backslash right)\; =\; \backslash cos\; t.$

:*$\backslash cos\backslash !\backslash left(t\; +\; \{\backslash pi\backslash over\; 2\}\backslash right)\; =\; -\backslash sin\; t.$

:* sin(t + π) = −sin t.

:* cos(t + π) = −cos t.

◆ 三角関数の加法定理

・$\backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta)\; =$

\sin\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\, \sin\beta

・$\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; =$

\sin\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\, \sin\beta

・$\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta)\; =$

\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\, \sin\beta

・$\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; =$

\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\, \sin\beta

・$\backslash tan(\backslash alpha+\backslash beta)\; =$

\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\, \tan\beta}

・$\backslash tan(\backslash alpha-\backslash beta)\; =$

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