前のページ 1/1 次のページ

符号関数 (sign function, signum function) は、実数に対しその符号に応じて1、-1、0のいずれかを返す関数

:$\backslash sgn\; x\; =\; \backslash begin$

1 & :\ x > 0 \\

0 & :\ x = 0 \\

-1 & :\ x < 0 \end

およびそれを拡張した複素関数。

記号は $\backslash sgn\; x\backslash ,$ のほかに、 $\backslash sgn(x)\backslash ,$ 、 $\backslash operatorname\backslash ,x$ 、 $\backslash operatorname\backslash ,x$ なども使われる。

英語から「サイン関数」とも呼ぶが、この名は正弦関数 $\backslash sin$ と非常に紛らわしい。区別するためにsignのラテン語形のsignum(シグヌム、英語読みはシグナム)から「シグナム関数」 (signum function) と呼ぶことがある。英語以外でもドイツ語などいくつかの言語でsignum系の名前で呼ばれる。

◆複素数への拡張

実数に対する符号関数は

:$\backslash sgn\; x\; =\; \backslash begin$

/ & :\ x \ne 0 \\

0 & :\ x = 0 \end

と書くこともできる。符号関数の複素数への拡張は、この式を複素数へも適用することで得られる。複素数に対する符号関数は、複素数平面上でベクトルに対し同方向の単位ベクトルを求める操作と同等である(ただし零ベクトル以外のとき)。

なおこのほかに、gnuplotでは、複素数に対し符号関数を

:$\backslash sgn\; x\; =\; \backslash sgn\; \backslash operatorname\backslash ,x$

と定義している。またMaple Vでは

:$\backslash operatorname\backslash ,x\; =\; \backslash begin$

\sgn \operatorname\,x & :\ \operatorname\,x \ne 0 \\

\sgn \operatorname\,x & :\ \operatorname\,x = 0 \end

という関数を定義している($\backslash operatorname$ と $\backslash operatorname$ はそれぞれ複素数の実部と虚部)。しかしこれ以降は、これらの定義は使わず、最初の定義の符号関数について述べる。

◆性質

符号関数は、以下のような性質を持つ(これらは複素数に対し成り立つ)。

極形式との関係:

・$|\backslash sgn\; x|\; =\; \backslash begin$

1 & :\ x \neq 0 \\

0 & :\ x = 0 \end

・$\backslash arg\; \backslash sgn\; x\; =\; \backslash arg\; x\; \backslash ,$ 、ただし $\backslash arg$ は偏角

・$x\; =\; (\backslash sgn\; x)\; |x|\; \backslash ,$

・$\backslash sgn\; x\; =\; e^\backslash quad\; (x\; \backslash ne\; 0)$

符号の演算:

・$\backslash sgn\; -x\; =\; -\backslash sgn\; x\; \backslash ,$

・$\backslash sgn\; \backslash frac=\; \backslash frac\backslash quad\; (x\; \backslash ne\; 0)$

・$\backslash sgn\; xy\; =\; \backslash sgn\; x\; \backslash sgn\; y\; \backslash ,$

・$\backslash sgn\; \backslash frac=\; \backslash frac\backslash quad\; (y\; \backslash ne\; 0)$

・$\backslash sgn\; x^y\; =\; (\backslash sgn\; x)^y\backslash ,$

実数に対しては、加えて次のような性質を持つ。

・$\backslash frac\; d\backslash sgn\; x\; =\; 2\; \backslash operatorname(x)$ 、ただし $\backslash operatorname$ はディラックのデルタ関数

・$\backslash sgn\; x\; =\; \backslash frac\; d|x|\; \backslash quad\; (x\; \backslash ne\; 0)$

・$\backslash sgn\; x\; =\; 2\; \backslash operatorname\_(x)\; -\; 1\; \backslash ,$ 、ただし はヘヴィサイドの階段関数

・ 、ただし $[外部リンク]\backslash ,$ はアイヴァーソンのブラケット

・$\backslash lim\_\backslash tanh\; kx\; \backslash to\; \backslash frac\; \backslash pi\; 2\; \backslash sgn\; x$

前のページ 1/1 次のページ

・符号関数 page1