符号関数 wikipedia|無料辞書
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符号関数 (sign function, signum function) は、
実数に対しその
符号に応じて
1、
-1、
0のいずれかを返す
関数
:
1 & :\ x > 0 \\
0 & :\ x = 0 \\
-1 & :\ x < 0 \end
記号は のほかに、 、 、 なども使われる。
英語から「
サイン関数」とも呼ぶが、この名は
正弦関数 と非常に紛らわしい。区別するためにsignの
ラテン語形のsignum(シグヌム、英語読みはシグナム)から「
シグナム関数」 (signum function) と呼ぶことがある。英語以外でも
ドイツ語などいくつかの言語でsignum系の名前で呼ばれる。
◆複素数への拡張
実数に対する符号関数は
:
/ & :\ x \ne 0 \\
0 & :\ x = 0 \end
と書くこともできる。符号関数の複素数への拡張は、この式を複素数へも適用することで得られる。複素数に対する符号関数は、
複素数平面上で
ベクトルに対し同方向の
単位ベクトルを求める操作と同等である(ただし
零ベクトル以外のとき)。
:
:
\sgn \operatorname\,x & :\ \operatorname\,x \ne 0 \\
\sgn \operatorname\,x & :\ \operatorname\,x = 0 \end
という関数を定義している( と はそれぞれ複素数の実部と虚部)。しかしこれ以降は、これらの定義は使わず、最初の定義の符号関数について述べる。
◆性質
符号関数は、以下のような性質を持つ(これらは複素数に対し成り立つ)。
極形式との関係:
・
1 & :\ x \neq 0 \\
0 & :\ x = 0 \end
・ 、ただし は偏角
・
・
符号の演算:
・
・
・
・
・
実数に対しては、加えて次のような性質を持つ。
・
、ただし
は
ディラックのデルタ関数
・
・
、ただし
は
ヘヴィサイドの階段関数
・
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